Question

1．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且橢圓C上的一點(diǎn)P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求以橢圓C內(nèi)的點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），運(yùn)用橢圓的定義和離心率公式，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)以橢圓C內(nèi)的點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦為AB，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入橢圓方程，作差，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，可得直線AB的斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得所求直線的方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2a=8，解得a=4，c=2$\sqrt{3}$，
則b²=a²-c²=4，
可得橢圓C的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）設(shè)以橢圓C內(nèi)的點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦為AB，
A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則x₁²+4y₁²=16，①x₂²+4y₂²=16，②
x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，③
①②作差，代入③，可得2（x₁-x₂）+4×2（y₁-y₂）=0，
可得${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{4}$，
即有直線AB的方程為y-1=-$\frac{1}{4}$（x-1），
即x+4y-5=0．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式和定義，考查中點(diǎn)弦方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及斜率公式，考查化簡整理的能力，屬于中檔題．