Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓上的上頂點，直線AF₂交橢圓于另一點B，
（1）若∠F₁AB=90°，求橢圓的離心率；
（2）若橢圓的焦距為2，且

AF2

=2

F2B

，求橢圓的方程．
（3）在（2）的條件下，求△F₁AB的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得∠AF₂O=45°，由此能求出橢圓的離心率．
（2）c=1，設B（x，y），則

AF2

=（1，-b），

F2B

=（x-1，y），由

2(x-1)=1 2y=-b

，能求出橢圓方程．
（3）由（2）知A（0，b），B（

3

2

，-

b

2

），從而S△F1AB=

1

2

|F1F2|•|yA-yB|=c•

3

2

b，由此能求出結果．

解答： 解：（1）∵AF₁=AF₂=a，又∠F₁AB=90°，
∴∠AF₂O=45°，
∴

c

a

=cos45°=

2

2

，
∴橢圓的離心率e=

2

2

．…（4分）
（2）∵2c=2，∴c=1，設B（x，y），由于A（0，b），F(xiàn)₂（1，0），
∴

AF2

=（1，-b），

F2B

=（x-1，y），
∴

2(x-1)=1 2y=-b

，∴

x= 3 2 y=- b 2

，…（6分）
∴

9

4a2

+

b2

4b2

=1，∴a²=3，又c=1，∴b²=2．
故所求橢圓方程是

x2

3

+

y2

2

=1．…（9分）
（3）由（2）知A（0，b），B（

3

2

，-

b

2

），
∴S△F1AB=

1

2

|F1F2|•|yA-yB|=c•

3

2

b，
∵c=1，∴b²=2，
∴S△F1AB=

3

2

2

．

點評：本題考查橢圓離心率的求法，考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．