Question

已知函數(shù)f（x）=2f′（1）lnx+2f（1）x+

1

4

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=

1

2

mx²-

7

2

x+f（x）（1≤m＜4），求證：函數(shù)g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間[a，b]，并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度l=b-a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（1），再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），求出f′（1），從而得到函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）寫(xiě)出g（x）的表達(dá)式，再求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)不大于0，g′（x）≤0?h（x）=mx²-4x+1≤0，方程h（x）=0在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，（x₁＜x₂），運(yùn)用韋達(dá)定理，再求|x₂-x₁|的表達(dá)式，求出范圍即可．

解答： （Ⅰ）解：∵f（1）=2f（1）+

1

4

，f（1）=-

1

4

．
∴f（x）=2f′（1）lnx-

1

2

x+

1

4

，
∴f′（x）=

2f′(1)

x

-

1

2

，f′（1）=2f′（1）-

1

2

，
∴f′（1）=

1

2

，
∴f（x）=lnx-

1

2

x+

1

4

；
（Ⅱ）證明：g（x）=

1

2

mx²-

7

2

x+f（x）=

1

2

mx²-

7

2

x+lnx-

1

2

x+

1

4

=

1

2

mx²-4x+lnx+

1

4

（1≤m＜4），定義域?yàn)椋?，+∞）．
g′（x）=mx-4+

1

x

=

mx2-4x+1

x

，
g′（x）≤0?h（x）=mx²-4x+1≤0，
∵1≤m＜4，△=16-4m＞0，對(duì)稱(chēng)軸x=

2

m

＞0．h（0）=1＞0，
∴方程h（x）=0在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，（x₁＜x₂），
即h（x）≤0的解集為[x₁，x₂]，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[x₁，x₂]，
|x₂-x₁|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

16 m2 - 4 m

=

16( 1 m - 1 8 )2- 1 4

，
∵1≤m＜4，∴0＜|x₂-x₁|≤2

3

，又[a，b]⊆[x₁，x₂]，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度l=b-a的取值范圍是（0，2

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，同時(shí)考查二次方程的韋達(dá)定理和函數(shù)的最值，是一道中檔題．