Question

4．若a，b∈（0，2），則函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+2x²+4bx+1存在極值的概率為（　�。�

• A． $\frac{1+2ln2}{4}$
• B． $\frac{3-2ln2}{4}$
• C． $\frac{1+ln2}{2}$
• D． $\frac{1-ln2}{2}$

Answer 1

分析 利用導數(shù)求得函數(shù)有極值的條件，進而轉(zhuǎn)化為幾何概型求得概率．

解答 解：f'（x）=ax²+4x+4b
因為函數(shù)f（x）存在極值，所以f'（x）=0有解
則△=16-16ab≥0，即ab≤1．
令ab=1，b=$\frac{1}{a}$，

當b=2，a=$\frac{1}{2}$，
當a=2，b=$\frac{1}{2}$，

∴${∫}_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{a}-\frac{1}{2}da$=lna-1-ln$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$=2ln2-$\frac{3}{4}$
三塊小矩形的面積為$2×\frac{1}{2}+\frac{3}{2}×\frac{1}{2}=\frac{7}{4}$，
∴S=2ln2+1，
∴$\frac{S}{{S}_{正}}=\frac{2ln2+1}{4}$，
故選A

點評 主要考查函數(shù)有極值的條件和利用幾何概型解題的方法．在高考中屬常考題型．