Question

12．已知：f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$-x${\;}^{-\frac{1}{2}}$．
（1）證明：函數(shù)f（x）有反函數(shù)，并求出反函數(shù)；
（2）反函數(shù)的圖象是否經(jīng)過點(diǎn)（0，1）？反函數(shù)的圖象與y=x有無(wú)交點(diǎn)？
（3）設(shè)反函數(shù)為y=f^-1（x），求不等式f^-1（x）≤0的解集．

Answer 1

分析 （1）判斷函數(shù)的單調(diào)性即可證明函數(shù)f（x）有反函數(shù)，并求出反函數(shù)；
（2）根據(jù)反函數(shù)的解析式，代入進(jìn)行求解即可．
（3）根據(jù)反函數(shù)的表達(dá)式，解不等式即可．

解答 證明：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），則函數(shù)f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$-x${\;}^{-\frac{1}{2}}$為增函數(shù)，
即函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)f（x）有反函數(shù)．
設(shè)x${\;}^{\frac{1}{2}}$=t，則y=t-$\frac{1}{t}$，
即ty=t²-1，即t²-ty-1=0，
解得t=$\frac{y+\sqrt{{y}^{2}+4}}{2}$，（因?yàn)閠＞0，所以負(fù)值舍去），
即x${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{y+\sqrt{{y}^{2}+4}}{2}$，
平方得x=（$\frac{y+\sqrt{{y}^{2}+4}}{2}$）²=$\frac{{y}^{2}+y\sqrt{{y}^{2}+4}+2}{2}$，
所以反函數(shù)為y=$\frac{{x}^{2}+x\sqrt{{x}^{2}+4}+2}{2}$．
（2）當(dāng)x=0，y=1，所以反函數(shù)圖象過（0，1）點(diǎn)，
只需要看原函數(shù)是否與y=x有交點(diǎn)
由x${\;}^{\frac{1}{2}}$-x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=x，
即x=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
即t²=t-$\frac{1}{t}$，
即t³-t²+1=0
令g（t）=t³-t²+1，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g（t）=t³+（1-t²）＞0
當(dāng)t≥1時(shí)，g（t）=t²（t-1）+1＞0
所以g（t）在[0，+無(wú)窮）上沒有零點(diǎn)，即無(wú)交點(diǎn)．
（3）由y=f^-1（x）=$\frac{{x}^{2}+x\sqrt{{x}^{2}+4}+2}{2}$≤0，
即x²+2≤$-x\sqrt{{x}^{2}+4}$，
左邊是正數(shù)，則x＜0
兩邊平方可得（x²+2）²≤x²（x²+4）
令x²=m
則m²+4m+4≤m²+4m，
即4≤0，
即不等式無(wú)解，故不等式f^-1（x）≤0的解集為∅．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查反函數(shù)的判斷和應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．