Question

7．已知橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}$=1（0＜b＜4），點C（8，0），直線AC和橢圓相交于不重合的兩點A、B（直線AC不與x軸重合），從A點出發(fā)的光線經(jīng)x軸反射后過點B，設(shè)A（m，n），如圖所示．
（Ⅰ）寫出直線AC的方程．
（Ⅱ）求證點B的坐標(biāo)是（$\frac{5m-16}{m-5}$，-$\frac{3n}{m-5}$）．
（Ⅲ）求x軸上光線反射點D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過點C（8，0）在橢圓外，及A（m，n），利用點斜式方程可得直線AC的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線AC及橢圓方程，結(jié)合A（m，n），再設(shè)B（x₀，y₀），通過韋達(dá)定理即可得結(jié)論；
（III）由對稱性知點A關(guān)于x軸的對稱點A′（m，-n）也在橢圓上，從而直線A′B與x軸的交點就是光線反射點D，計算可得直線A′B的方程，令其y=0即可．

解答 （Ⅰ）解：∵點C（8，0）在橢圓外，∴直線AC斜率存在．
∵A（m，n），∴直線AC斜率為$\frac{n}{m-8}$，
∴直線AC的方程是$y=\frac{n}{m-8}（x-8）$；
（Ⅱ）證明：由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{n}{m-8}（x-8）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
得（b²m²-16b²m+64b²+16n²）x²-16²n²x+16×64n²-16b²（m-8）²=0，
∵A（m，n）在橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}$=1上，∴$\frac{{m}^{2}}{16}+\frac{{n}^{2}}{^{2}}=1$，即b²m²+16n²=16b²，
∴（80b²-16b²m）x²-16²n²x+16×64n²-16b²（m-8）²=0．
設(shè)B（x₀，y₀），則有${x}_{0}+m=\frac{1{6}^{2}{n}^{2}}{80^{2}-16^{2}m}$，
∴x₀=$\frac{1{6}^{2}{n}^{2}}{80^{2}-16^{2}m}-m$=$\frac{16（16{n}^{2}+^{2}{m}^{2}）-80^{2}m}{80^{2}-16^{2}m}$=$\frac{16^{2}-5^{2}m}{5^{2}-^{2}m}$=$\frac{5m-16}{m-5}$，
∴${y_0}=\frac{n}{m-8}（{x_0}-8）=\frac{n}{m-8}（\frac{5m-16}{m-5}-8）=-\frac{3n}{m-5}$，
∴點B的坐標(biāo)是（$\frac{5m-16}{m-5}$，-$\frac{3n}{m-5}$）；
（III）解：由橢圓的對稱性知，點A關(guān)于x軸的對稱點A′（m，-n）也在橢圓上．
根據(jù)光學(xué)知識，直線A′B與x軸的交點就是光線反射點D，如圖所示．
∵A、B兩點不重合，∴直線A′B的斜率為$\frac{-\frac{3n}{m-5}+n}{\frac{5m-16}{m-5}-m}=-\frac{n}{m-2}$，
∴直線A′B的方程是$y+n=-\frac{n}{m-2}（x-m）$，
∵直線AC不與x軸重合，∴n≠0，
∴在直線A′B的方程中令y=0，得x=2，
∴軸上光線反射點D的坐標(biāo)為（2，0）．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．