Question

17．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若f（A）=1，sinB=2sin（π-C）．△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，求邊長a的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換化簡解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由正弦函數(shù)的周期性及單調(diào)性即可得解．
（2）由（1）可得f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，由0＜A＜π，可得2A+$\frac{π}{6}$的范圍，從而可求A的值．又sinB=2sin（π-C）=2sinC，可求b=2c，根據(jù)三角形面積公式可求b，c的值，由余弦定理即可求a的值．

解答 解：（1）∵（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$…3分
∵2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z．
∴可解得：k$π-\frac{π}{3}$≤x≤kπ$+\frac{π}{6}$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[k$π-\frac{π}{3}$，kπ$+\frac{π}{6}$]，k∈Z…6分
（2）∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，0＜A＜π，
∴2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，∴A=$\frac{π}{3}$，…9分
又∵sinB=2sin（π-C）=2sinC，∴b=2c，又∵△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$，∴bc=8，∴c=2，b=4，
∴a²=b²+c²-bc=16+4-8=12，∴a=2$\sqrt{3}$，
∴邊長a的值為2$\sqrt{3}$…13分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性，三角形面積公式以及余弦定理的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意分析角的范圍，屬于中檔題．