Question

甲乙兩個地區(qū)高三年級分別有33000人，30000人，為了了解兩個地區(qū)全體高三年級學生在該地區(qū)二模考試的數(shù)學成績情況，采用分層抽樣方法從兩個地區(qū)一共抽取了105名學生的數(shù)學成績，并作出了如下的頻數(shù)分布統(tǒng)計表，規(guī)定考試成績在[120，150]內為優(yōu)秀．
甲地區(qū)：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數(shù)	2	3	10	15
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數(shù)	15	x	3	1

乙地區(qū)：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數(shù)	1	2	9	8
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數(shù)	10	10	y	3

（Ⅰ）計算x，y的值；
（Ⅱ）根據(jù)抽樣結果分別估計甲地區(qū)和乙地區(qū)的優(yōu)秀率；若將此優(yōu)秀率作為概率，現(xiàn)從乙地區(qū)所有學生中隨機抽取3人，求抽取出的優(yōu)秀學生人數(shù)ξ的數(shù)學期望；
（Ⅲ）根據(jù)抽樣結果，從樣本中優(yōu)秀的學生中隨機抽取3人，求抽取出的甲地區(qū)學生人數(shù)η的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布表

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由已知條件先求出甲地區(qū)抽取人數(shù)和乙地區(qū)抽取人數(shù)，由此結合頻數(shù)分布表能求出x=6，y=7．
（Ⅱ）由頻數(shù)分布表求出甲地區(qū)優(yōu)秀率和乙地區(qū)優(yōu)秀率，從而推導出ξ～B（3，

2

5

），由此能求出Eξ．
（Ⅲ）由已知條件得η的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（η=0），P（η=1），P（η=2），P（η=3），由此能求出η的分布列和Eη．

解答： 解：（Ⅰ）∵抽樣比f=

105

33000+30000

=

1

600

，
∴甲地區(qū)抽取人數(shù)=

1

600

×33000=55人，
乙地區(qū)抽取人數(shù)=

1

600

×30000=50人，
∴由頻數(shù)分布表知：

2+3+10+15+15+x+3+1=55 1+2+9+8+10+10+y+3=50

解得x=6，y=7．
（Ⅱ）由頻數(shù)分布表知甲地區(qū)優(yōu)秀率=

6+3+1

55

=

2

11

，
乙地區(qū)優(yōu)秀率=

10+7+3

50

=

2

5

，
現(xiàn)從乙地區(qū)所有學生中隨機抽取3人，
抽取出的優(yōu)秀學生人數(shù)ξ的可能取值為0，1，2，3，
ξ～B（3，

2

5

），
∴Eξ=3×

2

5

=

6

5

．
（Ⅲ）從樣本中優(yōu)秀的學生中隨機抽取3人，
抽取出的甲地區(qū)學生人數(shù)η的可能取值為0，1，2，3，
P（η=0）=

C 3 20

C 3 30

=

57

203

，
P（η=1）=

C 1 10 C 2 20

C 3 30

=

95

203

，
P（η=2）=

C 2 10 C 1 20

C 3 30

=

45

203

，
P（η=3）=

C 3 10

C 3 30

=

6

203

，
∴η的分布列為：

η	0	1	2	3
P	57 203	95 203	45 203	6 203

Eη=0×

57

203

+1×

95

203

+2×

45

203

+3×

6

203

=1．

點評：本題考查頻數(shù)分布表的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．