Question

已知定點F（1，0）和定直線l：x=-1，動圓P過定點F且與定直線l相切，動圓圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點F（1，0）的一條直線m與曲線C交于不同的兩點A，B，且|AB|=8，求直線m的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,拋物線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由動圓P過定點F（1，0），且與定直線l：x=-1相切，可知動圓圓心M的軌跡為拋物線，即可得出結論；
（2）直線m不垂直于x軸，設方程為y=k（x-1），代入方程y²=4x，利用過拋物線焦點的弦長公式即可，求出直線m的方程．

解答： 解：（1）因為動圓P過定點F（1，0），且與定直線l：x=-1相切，
所以由拋物線定義知：圓心P的軌跡是以定點F（1，0）為焦點，定直線l：x=-1為準線的拋物線，
所以圓心P的軌跡方程為y²=4x；
（2）直線m垂直于x軸時，|AB|=4，不合題意，
∴直線m不垂直于x軸，設方程為y=k（x-1）
代入方程y²=4x得kx²-（2k²+4）x+k²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁+x₂=2+

4

k2

       
∵|AB|=x₁+x₂+2，|AB|=8，
∴2+

4

k2

+2=8，
∴k=±1，此時△＞0成立，
∴直線m的方程為y=x-1或y=-x+1．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，著重考查拋物線的定義與標注方程，屬于中檔題．