Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F（1，0），右頂點A，且|AF|=1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若動直線l：y=kx+m與橢圓C有且只有一個交點P，且與直線x=4交于點Q，問：是否存在一個定點M（t，0），使得

MP

•

MQ

=0．若存在，求出點M坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓的右焦點F（1，0），右頂點A，且|AF|=1，求出橢圓的幾何量，即可求橢圓C的標準方程；
（2）直線l：y=kx+m，代入橢圓方程，求出P的坐標，求出向量的坐標，利用

MP

•

MQ

=0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由c=1，a-c=1，∴a=2，∴b=

3

，
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．-------------（4分）
(2)由

y=kx+m 3x2+4y2=12

得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，-------------（6分）
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，即m²=3+4k²．
∴xp=-

4km

3+4k2

=-

4k

m

，yp=kxp+m=-

4k2

m

+m=

3

m

，即P(-

4k

m

，

3

m

)．---------（9分）
∵M（t，0）．
又Q（4，4k+m），

MP

=(-

4k

m

-t，

3

m

)，

MQ

=(4-t，4k+m)，
∴

MP

•

MQ

=(-

4k

m

-t)•（4-t）+

3

m

•(4k+m)=t2-4t+3+

4k

m

(t-1)=0恒成立，
故

t=1 t2-4t+3=0

，即t=1．
∴存在點M（1，0）適合題意．------------（12分）

點評：本題考查圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．