已知數(shù)列
，滿足
，
，
（1）求
的值；
（2）猜想數(shù)列
的通項公式
，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）己知
，設(shè)
，記
，求
．
（1）；
；（2）
，證明見解析；（3）3．.
解析試題分析：（1）這屬于已知數(shù)列的遞推關(guān)系式，求數(shù)列的項的問題，我們只要在已知遞推關(guān)系式中依次令
就可以依次求出
；（2）用歸納法歸納數(shù)列的通項公式，我們可以由數(shù)列的前幾項
想象各項與項數(shù)
之間的聯(lián)系，如
，
，
，
，
從而歸納出結(jié)論，然后數(shù)學(xué)歸納法證明，這里數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)即第一步已經(jīng)不需另證了，關(guān)鍵是第二步，假設(shè)
時，
，然后由已知條件求出
，那么結(jié)論就是正確的；（3）按常規(guī)方法，先求
，
，接著求數(shù)列
的前項和
，根據(jù)其通項公式的形式（它是一個等差數(shù)列所一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得），求和用乘公比經(jīng)錯位相減法，求得
，然后借助已知極限
可求出極限
.
試題解析：(1)
，
∴
．
，分別令，可得
，
(2)猜想數(shù)列
的通項公式為
.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
證明 (i)當(dāng)
時，由(1)知結(jié)論成立；當(dāng)
時，
,結(jié)論成立.
(ii)假設(shè)
時，結(jié)論成立，即
.
當(dāng)
時，
.
所以，
，即時，結(jié)論也成立.
根據(jù)(i)和(ii)可以斷定，結(jié)論對一切正整數(shù)都成立.
(3)由(2)知，
，
． 于是，
，．
所以，
．
考點：（1）數(shù)列的項；（2）數(shù)學(xué)歸納法；（3）借位相減法，極限.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x，y值依次分別記為x1，x2，…，xk，…；y1，y2，…，yk，….
(1)分別求數(shù)列{xk}和{yk}的通項公式；
(2)令zk＝xkyk，求數(shù)列{zk}的前k項和Tk，其中k∈N*，k≤2 007.
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數(shù)列
的前
項和為
,且
是和
的等差中項，等差數(shù)列
滿足
（1）求數(shù)列、的通項公式
（2）設(shè)
=
，求數(shù)列
的前項和
.
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已知數(shù)列
，
，
，
，
，
為數(shù)列的前
項和，
為數(shù)列
的前項和.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和；
（3）求證：
.
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已知數(shù)列
的前
項和
（為正整數(shù)）
（1）令
，求證數(shù)列
是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）令
，
，試比較
與
的大小，并予以證明
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
若S
是公差不為0的等差數(shù)列
的前
項和，且
成等比數(shù)列。
(1)求等比數(shù)列的公比；
(2)若
，求的通項公式；
(3)設(shè)
，
是數(shù)列
的前項和，求使得
對所有
都成立的最小正整數(shù)
。
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的通項公式
其前
項和
，則
滿足：
， 
；
滿足
，求數(shù)列
項和.
的前
項和為
，且2
.
的通項公式；
求數(shù)列
的前