Question

17．已知F是拋物線(xiàn)y²=8x的焦點(diǎn)，一條傾斜角為$\frac{π}{4}$的弦AB長(zhǎng)為8$\sqrt{5}$（如圖），求△FAB的面積和sin∠AFB的值．

Answer 1

分析 設(shè)AB方程為y=x+b，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式列出方程求出b，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出△FAB底邊AB上的高，再求△FAB的面積，子啊求出點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)，利用拋物線(xiàn)的定義求出|AF|、|BF|，利用△FAB的面積求出sin∠AFB的值．

解答 解：由題意設(shè)AB方程為y=x+b，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$消去y得，x²+（2b-8）x+b²=0，
所以x₁+x₂=8-2b，x₁•x₂=b²，
則|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（8-2b）^{2}-4^{2}]}$=8$\sqrt{5}$，
解得b=-3，
所以直線(xiàn)方程為y=x-3，即x-y-3=0，
則焦點(diǎn)F（2，0）到x-y-3=0的距離為d=$\frac{|2-0-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以△FAB的面積S=$\frac{1}{2}×8\sqrt{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$2\sqrt{10}$，
把b=-3代入x²+（2b-8）x+b²=0得，x²-14x+9=0，
解得，x₁=$7+2\sqrt{10}$，x₂=$7-2\sqrt{10}$，
由拋物線(xiàn)的定義得，|AF|=$7+2\sqrt{10}$+2=$9+2\sqrt{10}$，|BF|=$9-2\sqrt{10}$，
所以S=$\frac{1}{2}×|AF|×|BF|×sin∠AFB$=$2\sqrt{10}$，
則$\frac{1}{2}×（9+2\sqrt{10}）×（9-2\sqrt{10}）sin∠AFB=2\sqrt{10}$，
解得sin∠AFB=$\frac{4\sqrt{10}}{41}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，拋物線(xiàn)的定義，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，以及三角形的面積公式的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．