Question

1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2cos2B-8cosB+5=0．
（1）若a，b，c成等比數(shù)列，求角A，C的大��；
（2）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角公式將方程2cos2B-8cosB+5=0化為關于cosB的方程，解得cosB，從而由B的范圍確定角B的大小，利用等比數(shù)列的性質即正弦定理可得sin²B=sinAsinC，利用三角函數(shù)恒等變換的應用可得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，結合A的范圍即可求得A，C的值．
（2）由三角形的內角和定理及B的度數(shù)，表示出A+C的度數(shù)，用A表示出C，代入原式中利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答 解：由2cos2B-8cosB+5=0，可得4cos²B-8cosB+3=0，即（2cosB-1）（2cosB-3）=0．
解得cosB=$\frac{1}{2}$或cosB=$\frac{3}{2}$（舍去）．
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（1）∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，
∴由正弦定理可得：sin²B=sinAsinC，即$\frac{3}{4}$=sinAsin（$\frac{2π}{3}$-A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}×sin2A$+$\frac{1}{2}×\frac{1-cos2A}{2}$，
∴整理可得：sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
∵A∈（0，π），2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），
可得：2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得：A=$\frac{π}{3}$，從而C=π-A-B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A+B+C=π，B=$\frac{π}{3}$，
∴A+C=$\frac{2π}{3}$，即C=$\frac{2π}{3}$-A，
則sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）
=sinA+sin$\frac{2π}{3}$cosA-cos$\frac{2π}{3}$sinA
=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA
=$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA
=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵A為三角形的內角，且B=$\frac{π}{3}$，
∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，即$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sinA+sinC的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了二倍角公式，簡單的三角方程解法，余弦定理及其推論的用法，考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關鍵，屬于中檔題．