20.為弘揚民族古典文化,市電視臺舉行古詩詞知識競賽,某輪比賽由節(jié)目主持人隨機從題庫中抽取題目讓選手搶答,回答正確將給該選手記正10分,否則記負10分.根據(jù)以往統(tǒng)計,某參賽選手能答對每一個問題的概率均為$\frac{2}{3}$;現(xiàn)記“該選手在回答完n個問題后的總得分為Sn”.
(1)求S6=20且Si≥0(i=1,2,3)的概率;
(2)記X=|S5|,求X的分布列,并計算數(shù)學(xué)期望E(X).

分析 (1)當(dāng)S6=20時,即回答6個問題后,正確4個,錯誤2個.若回答正確第1個和第2個問題,則其余4個問題可任意回答正確2個問題;若第一個問題回答正確,第2個問題回答錯誤,第三個問題回答正確,則其余三個問題可任意回答正確2個.記回答每個問題正確的概率為p,則$p=\frac{2}{3}$,同時回答每個問題錯誤的概率為$\frac{1}{3}$,由此能求出S6=20且Si≥0(i=1,2,3)的概率.
(2)由X=|S5|可知X的取值為10,30,50,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出X的分布列和E(X).

解答 解:(1)當(dāng)S6=20時,即回答6個問題后,正確4個,錯誤2個.
若回答正確第1個和第2個問題,則其余4個問題可任意回答正確2個問題;
若第一個問題回答正確,第2個問題回答錯誤,第三個問題回答正確,則其余三個問題可任意回答正確2個.
記回答每個問題正確的概率為p,則$p=\frac{2}{3}$,同時回答每個問題錯誤的概率為$\frac{1}{3}$…(3分)
故所求概率為:$P={({\frac{2}{3}})^2}×C_4^2×{({\frac{2}{3}})^2}×{({\frac{1}{3}})^2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×C_3^2×{({\frac{2}{3}})^2}×\frac{1}{3}=\frac{16}{81}$…(6分)
(2)由X=|S5|可知X的取值為10,30,50
可有$P({X=10})=C_5^3{({\frac{2}{3}})^3}{({\frac{1}{3}})^2}+C_5^2{({\frac{2}{3}})^2}{({\frac{1}{3}})^3}=\frac{40}{81}$,
$P({X=30})=C_5^4{({\frac{2}{3}})^4}{({\frac{1}{3}})^1}+C_5^1{({\frac{2}{3}})^1}{({\frac{1}{3}})^4}=\frac{30}{81}$,
$P({X=50})=C_5^5{({\frac{2}{3}})^5}+C_5^0{({\frac{1}{3}})^5}=\frac{11}{81}$…(9分)
故X的分布列為:

X103050
P$\frac{40}{81}$$\frac{30}{81}$$\frac{11}{81}$
E(X)=$10×\frac{40}{81}+30×\frac{30}{81}+50×\frac{11}{81}$=$\frac{1850}{81}$.…(12分)

點評 本題考查概率的求法,考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的合理運用.

練習(xí)冊系列答案
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分組頻數(shù)頻率
[0,0.5)40.10
[0.5,1)mp
[1,1.5)10n
[1.5,2)60.15
[2,2.5)40.10
[2.5,3)20.05
合計M1
(Ⅰ)求出表中的M,p及圖中a的值;
(Ⅱ)試估計這M名市民在一天內(nèi)低頭玩手機的平均時間(同一組的數(shù)據(jù)用該組的中間值作代表);
(Ⅲ)在所取樣本中,從一天內(nèi)低頭玩手機的時間不少于2小時的市民中任取2人,求兩人在一天內(nèi)低頭玩手機的時間都在區(qū)間[2,2.5)內(nèi)的概率.

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A.3B.$3\sqrt{2}$C.$2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$D.$1+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

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