Question

20．為弘揚民族古典文化，市電視臺舉行古詩詞知識競賽，某輪比賽由節(jié)目主持人隨機從題庫中抽取題目讓選手搶答，回答正確將給該選手記正10分，否則記負10分．根據以往統計，某參賽選手能答對每一個問題的概率均為$\frac{2}{3}$；現記“該選手在回答完n個問題后的總得分為S_n”．
（1）求S₆=20且S_i≥0（i=1，2，3）的概率；
（2）記X=|S₅|，求X的分布列，并計算數學期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）當S₆=20時，即回答6個問題后，正確4個，錯誤2個．若回答正確第1個和第2個問題，則其余4個問題可任意回答正確2個問題；若第一個問題回答正確，第2個問題回答錯誤，第三個問題回答正確，則其余三個問題可任意回答正確2個．記回答每個問題正確的概率為p，則$p=\frac{2}{3}$，同時回答每個問題錯誤的概率為$\frac{1}{3}$，由此能求出S₆=20且S_i≥0（i=1，2，3）的概率．
（2）由X=|S₅|可知X的取值為10，30，50，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）當S₆=20時，即回答6個問題后，正確4個，錯誤2個．
若回答正確第1個和第2個問題，則其余4個問題可任意回答正確2個問題；
若第一個問題回答正確，第2個問題回答錯誤，第三個問題回答正確，則其余三個問題可任意回答正確2個．
記回答每個問題正確的概率為p，則$p=\frac{2}{3}$，同時回答每個問題錯誤的概率為$\frac{1}{3}$…（3分）
故所求概率為：$P={（{\frac{2}{3}}）^2}×C_4^2×{（{\frac{2}{3}}）^2}×{（{\frac{1}{3}}）^2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×C_3^2×{（{\frac{2}{3}}）^2}×\frac{1}{3}=\frac{16}{81}$…（6分）
（2）由X=|S₅|可知X的取值為10，30，50
可有$P（{X=10}）=C_5^3{（{\frac{2}{3}}）^3}{（{\frac{1}{3}}）^2}+C_5^2{（{\frac{2}{3}}）^2}{（{\frac{1}{3}}）^3}=\frac{40}{81}$，
$P（{X=30}）=C_5^4{（{\frac{2}{3}}）^4}{（{\frac{1}{3}}）^1}+C_5^1{（{\frac{2}{3}}）^1}{（{\frac{1}{3}}）^4}=\frac{30}{81}$，
$P（{X=50}）=C_5^5{（{\frac{2}{3}}）^5}+C_5^0{（{\frac{1}{3}}）^5}=\frac{11}{81}$…（9分）
故X的分布列為：

X	10	30	50
P	$\frac{40}{81}$	$\frac{30}{81}$	$\frac{11}{81}$

E（X）=$10×\frac{40}{81}+30×\frac{30}{81}+50×\frac{11}{81}$=$\frac{1850}{81}$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的合理運用．