Question

12．袋子中裝有大小相同的3個白球和4個紅球，現(xiàn)從袋子中每次取出1個球，每個球被取到的機會均等，如果取出的白球與紅球相等或所有的球都取完，則停止．設(shè)停止時已取出的紅球個數(shù)為X．
（1）若從袋子中任取2個球，求恰好取到1個紅球和1個白球的概率；
（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）從袋子中任取2個球，先求出基本事件總數(shù)，再求出恰好取到1個紅球和1個白球包含的基本事件個數(shù)，由此能求出恰好取到1個紅球和1個白球的概率．
（2）由已知得X的可能取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）∵袋子中裝有大小相同的3個白球和4個紅球，
∴從袋子中任取2個球，基本事件總數(shù)n=${C}_{7}^{2}$=21，
恰好取到1個紅球和1個白球包含的基本事件個數(shù)m=${C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}$=12，
∴恰好取到1個紅球和1個白球的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{12}{21}$=$\frac{4}{7}$．
（2）由已知得X的可能取值為1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{3}{7}×\frac{4}{6}+\frac{4}{7}×\frac{3}{6}$=$\frac{24}{42}$=$\frac{4}{7}$，
設(shè)取出4個球時，白球和紅球各點兩個的概率為p₄，則p₄=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{12}{35}$，
P（X=2）是在p₄成立的前提下前兩個球都是紅球或都是白球的概率，
∴P（X=2）=p₄×（1-$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$）=$\frac{4}{35}$，
設(shè)取出6個球時，白球和紅球各3個的概率為p₆，則p₆=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{6}}$=$\frac{4}{7}$，
P（X=3）是在p₆成立的前提下，前兩個球同色，且前四個球中白球和紅球數(shù)量不同的概率，
∴P（X=3）=p₆×（1-$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$）（1-$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{4}}$）=$\frac{4}{7}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{16}{175}$．
∴P（X=4）=1-P（X=1）=P（X+=2）-P（X=3）=$\frac{39}{175}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{4}{7}$	$\frac{4}{35}$	$\frac{16}{175}$	$\frac{39}{175}$

∴EX=$1×\frac{4}{7}+2×\frac{4}{35}+3×\frac{6}{175}+4×\frac{39}{175}$=$\frac{239}{175}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用．