【題目】已知數(shù)列各項均為正數(shù), ,且對任意恒成立,記的前項和為.

(1)若,求的值;

(2)證明:對任意正實數(shù), 成等比數(shù)列;

(3)是否存在正實數(shù),使得數(shù)列為等比數(shù)列.若存在,求出此時的表達式;若不存在,說明理由.

【答案】(1)(2)見解析(3)存在使數(shù)列為等比數(shù)列,此時, .

【解析】試題分析:(1)根據(jù), ,且對任意恒成立,代值計算即可.

2a1=1a2=2,且anan+3=an+1an+2對任意nN*恒成立,則可得,從而的奇數(shù)項和偶數(shù)項均構(gòu)成等比數(shù)列,即可證明,

(3)在(2)中令,則數(shù)列是首項為3,公比為的等比數(shù)列,從而得到, 又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列,解得,, 求出此時的表達式.

試題解析:

解:(1)∵,,又∵,;

(2)由,兩式相乘得,

,,

從而的奇數(shù)項和偶數(shù)項均構(gòu)成等比數(shù)列,

設(shè)公比分別為,則 ,

又∵,即

設(shè),則,且恒成立,

數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,問題得證;

(3)在(2)中令,則數(shù)列是首項為3,公比為的等比數(shù)列,

, , , ,

∵數(shù)列為等比數(shù)列,∴

解得舍去),

, ,

從而對任意

此時, 為常數(shù),滿足成等比數(shù)列,

當(dāng)時, ,又,,

綜上,存在使數(shù)列為等比數(shù)列,此時, .

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù),

)求的單調(diào)區(qū)間.

)證明:當(dāng)時,方程在區(qū)間上只有一個零點.

)設(shè),其中恒成立,求的取值范圍.

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【題目】某市高中全體學(xué)生參加某項測評,按得分評為兩類(評定標(biāo)準(zhǔn)見表1).根據(jù)男女學(xué)生比例,使用分層抽樣的方法隨機抽取了10000名學(xué)生的得分?jǐn)?shù)據(jù),其中等級為的學(xué)生中有40%是男生,等級為的學(xué)生中有一半是女生.等級為的學(xué)生統(tǒng)稱為類學(xué)生,等級為的學(xué)生統(tǒng)稱為類學(xué)生.整理這10000名學(xué)生的得分?jǐn)?shù)據(jù),得到如圖2所示的頻率分布直方圖,

類別

得分(

表1

(I)已知該市高中學(xué)生共20萬人,試估計在該項測評中被評為類學(xué)生的人數(shù);

(Ⅱ)某5人得分分別為45,50,55,75,85.從這5人中隨機選取2人組成甲組,另外3人組成乙組,求“甲、乙兩組各有1名類學(xué)生”的概率;

(Ⅲ)在這10000名學(xué)生中,男生占總數(shù)的比例為51%, 類女生占女生總數(shù)的比例為, 類男生占男生總數(shù)的比例為,判斷的大小.(只需寫出結(jié)論)

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線,以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點, 軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,已知直線.

(1)將曲線上的所有點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的倍、2倍后得到曲線.試寫出直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程;

(2)在曲線上求一點,使點到直線的距離最大,并求出此最大值.

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【題目】已知四邊形為等腰梯形, , 沿對角線將旋轉(zhuǎn),使得點至點的位置,此時滿足.

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(2)求二面角的平面角的正弦值.

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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中,圓的極坐標(biāo)方程為: .若以極點為原點,極軸所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(Ⅰ)求圓的參數(shù)方程;

(Ⅱ)在直角坐標(biāo)系中,點是圓上動點,試求的最大值,并求出此時點的直角坐標(biāo).

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【題目】橢圓 的離心率為,過其右焦點與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限相交于點, .

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)橢圓的左頂點為,右頂點為,點是橢圓上的動點,且點與點, 不重合,直線與直線相交于點,直線與直線相交于點,求證:以線段為直徑的圓恒過定點.

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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點, 軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,點的極坐標(biāo)為,直線的極坐標(biāo)方程為,且過點,曲線的參考方程為為參數(shù)).

(1)求曲線上的點到直線的距離的最大值與最小值;

(2)過點與直線平行的直線與曲線交于兩點,求的值.

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【題目】如圖,是邊長為的正方形,平面,,,與平面所成角為

Ⅰ)求證:平面

Ⅱ)求二面角的余弦值.

Ⅲ)設(shè)點是線段上一個動點,試確定點的位置,使得平面,并證明你的結(jié)論.

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