Question

7．在?ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是CO的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線與DC交于點(diǎn)F，若$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{BF}$等于$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow$（用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示）

Answer 1

分析 根據(jù)向量的基本定理進(jìn)行分解即可．

解答 解：∵E是CO的中點(diǎn)，
∴△ABE∽△CFE，
則AE：CE=3：1，
即BE：EF=AE：EC=3：1，
則|BE|=$\frac{3}{4}$|BF|，
即|BF|=$\frac{4}{3}$|BE|，
則$\overrightarrow{BF}$=$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{BE}$，
∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
則$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{BC}）$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow+\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow$
=$\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{BF}$=$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{BE}$=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow$）=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow$，
故答案為：$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量的表示，利用向量的基本定理結(jié)合向量的加法和減法法則是解決本題的關(guān)鍵．