Question

7．已知矩形ABCD的長AB=4，寬AD=3，將其沿對角線BD折起，得到四面體A-BCD，如圖所示，給出下列結(jié)論：
①四面體A-BCD體積的最大值為$\frac{72}{5}$；
②四面體A-BCD外接球的表面積恒為定值；
③若E、F分別為棱AC、BD的中點，則恒有EF⊥AC且EF⊥BD；
④當二面角A-BD-C為直二面角時，直線AB、CD所成角的余弦值為$\frac{16}{25}$；
⑤當二面角A-BD-C的大小為60°時，棱AC的長為$\frac{14}{5}$．
其中正確的結(jié)論有②③④（請寫出所有正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

分析 將矩形折疊后得到三棱錐，①四面體ABCD體積最大值為兩個面互相垂直求三棱錐的底面積和高計算；
②求出三棱錐的外接球半徑，計算表面積；
③連接AF，CF則AF=CF，連接DE，BE，得到DE=BE，利用等腰三角形的三線合一可得；
④當二面角A-BD-C為直二面角時，以C為原點CB，CD所在直線分別為x，y軸建立坐標系，借助于向量的數(shù)量積解答；
⑤找到二面角的平面角計算即可．

解答 解：①四面體ABCD體積最大值為兩個面互相垂直，四面體A-BCD體積的最大值為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×4×\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$，故不正確；
②三棱錐A-BCD外接球的半徑為$\frac{5}{2}$，所以三棱錐A-BCD外接球的表面積為4$π×\frac{25}{4}$=25π；②正確；
③若E、F分別為棱AC、BD的中點，連接AF，CF則AF=CF，根據(jù)等腰三角形三線合一得到EF⊥AC；
連接DE，BE，容易判斷△ACD≌△ACB，得到DE=BE，所以EF⊥BD；所以③正確；
④當二面角A-BD-C為直二面角時，以C為原點CB，CD所在直線分別為x，y軸，則由向量的數(shù)量積可以得到直線AB、CD所成角的余弦值為$\frac{16}{25}$，所以④正確．
⑤當二面角A-BD-C的大小為60°時，棱AC的長為$\frac{14}{5}$，在直角三角形ABD中，AB=4，AD=3，BD=5，
作AE⊥BD，CF⊥BD，則AE=CF=$\frac{12}{5}$，DE=BF=$\frac{9}{5}$，
同理直角三角形ABC中，則EF=BD-DE-BF=$\frac{7}{5}$，
在平面ABD內(nèi)，過F作FH∥AE，且FH=AE，連接AH，易得四邊形AEFH為矩形，
則AH=EF=$\frac{7}{5}$，AH∥EF，
FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH為二面角C-BD-A的平面角，且為60°，
即CH=CF=$\frac{12}{5}$，
由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，即有AH⊥CH，
則AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{193}}{5}$，故⑤錯誤；
故答案為：②③④．

點評 本題考查了平面與立體幾何的關(guān)系，考查了三棱錐中線線關(guān)系，二面角以及三棱錐的外接球的表面積，較綜合，屬于中檔題．