Question

18．已知橢圓C的焦點為（-2，0）和（2，0），橢圓上一點到兩焦點的距離之和為4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓C交于A，B兩點．當(dāng)m變化時，求△AOB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過橢圓的定義即得結(jié)論；
（Ⅱ）聯(lián)立直線l與橢圓方程，利用韋達(dá)定理、三角形的面積公式、配方法，計算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由題可知：長軸長$2a=4\sqrt{2}$，即$a=2\sqrt{2}$，
半焦距c=2，∴b²=a²-c²=4，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=8\\ y=x+m\end{array}\right.$，消去y并整理得：3x²+4mx+2m²-8=0，
其根的判別式△=（4m）²-4×3×（2m²-8）＞0，
解得$-2\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$，
由題意，知m≠0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理，
得：${x_1}+{x_2}=-\frac{4m}{3}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{3}$，
設(shè)直線l與y軸的交點為E，則E（0，m）．
所以△AOB面積$S=\frac{1}{2}•|m|•|{x_1}-{x_2}|$，
${S^2}=\frac{1}{4}{m^2}{（{x_1}-{x_2}）^2}$
=$\frac{1}{4}{m^2}[{（{x_1}+{x_2}）^2}-4{x_1}{x_2}]$
=$\frac{1}{4}{m^2}[{（-\frac{4m}{3}）^2}-4•\frac{{2{m^2}-8}}{3}]$
=$\frac{2}{9}（-{m^4}+12{m^2}）$
=$-\frac{2}{9}{（{m^2}-6）^2}+8$（0＜m²＜12），
∴當(dāng)m²=6即$m=±\sqrt{6}$時，△AOB面積取得最大值$2\sqrt{2}$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．