Question

16．過拋物線C：y²=4x上一點P（異于坐標(biāo)原點O）作直線PA，交拋物線C于點A．
（1）若直線PA過拋物線C的焦點，求$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OP}$的值；
（2）過點P作直線PA的傾斜角互補的直線PB，交拋物線C于點B，設(shè)直線AB的斜率k₁，拋物線C在點P處的切線斜率為k₂，是否存在常數(shù)λ，使得k₁=λk₂？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由；
（3）設(shè)直線PA過定點（1，0），過點A作與拋物線C在點P處的切線平行的直線l，交拋物線C于點Q，求△APQ面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），P（x₀，y₀），通過聯(lián)立直線PA與拋物線方程，計算即得結(jié)論；
（2）通過分PA、PB的斜率存在與不存在兩種情況討論，利用根的判別式為0計算即得結(jié)論；
（3）通過聯(lián)立直線AQ與拋物線方程，利用兩點間距離公式、點到直線的距離公式及三角形面積公式計算即可．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），P（x₀，y₀），則直線PA的方程為：x=my+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x整理得：y²-4my-4=0，
∴y₁y₀=-4，
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OP}$=x₀x₁+y₁y₀=$\frac{{{y}_{0}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{16}$+y₁y₀=1-4=-3；
（2）結(jié)論：存在常數(shù)λ=-1，使得k₁=λk₂．
理由如下：
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
當(dāng)PA、PB的斜率存在時，由題可知：$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$+$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=0，
即：$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{0}}$+$\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{0}}$=0，即：y₁+y₂+2y₀=0，
則k₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{2}{{y}_{0}}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{0}={k}_{2}（x-{x}_{0}）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x整理得：${y}^{2}-\frac{4}{{k}_{2}}y+\frac{4}{{y}_{0}}-4{x}_{0}=0$，
由△=0得：$\frac{16}{{{k}_{2}}^{2}}$-16（$\frac{{y}_{0}}{{k}_{2}}$-x₀）=0，
即$（{y}_{0}{k}_{2}-2）^{2}=0$，即k₂=$\frac{2}{{y}_{0}}$，則k₁=-k₂；
當(dāng)PA、PB的斜率不存在時，顯然滿足k₁=-k₂；
故存在常數(shù)λ=-1，使得k₁=λk₂；
（3）直線AQ的方程為：y-y₁=$\frac{2}{{y}_{0}}$（x-x₁），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{1}=\frac{2}{{y}_{0}}（x-{x}_{1}）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x整理得：y²-2y₀y-4x₁-8=0，
|AQ|=$\sqrt{1+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}}$•$\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+4（4{x}_{1}+8）}$=$\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}$•$\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+8}$=$\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}$•|y₀-y₁|，
點P到直線AQ的距離d=$\frac{|\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}-{y}_{0}-\frac{2{x}_{1}}{{y}_{0}}+{y}_{1}|}{\sqrt{1+\frac{4}{{{y}_{0}}^{2}}}}$=$\frac{|2{x}_{0}-{{y}_{0}}^{2}-2{x}_{1}-4|}{\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{|{y}_{0}-{y}_{1}{|}^{2}}{\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}}$，
∴S_△APQ=$\frac{1}{4}$•$\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}$•|y₀-y₁|•$\frac{|{y}_{0}-{y}_{1}{|}^{2}}{\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}}$=$\frac{1}{4}$•$|{y}_{0}-{y}_{1}{|}^{3}$=$\frac{1}{4}$•$|{y}_{0}+\frac{1}{{y}_{0}}{|}^{3}$≥$\frac{1}{4}$•4³=16，
當(dāng)且僅當(dāng)y₀=±2時取等號，故△APQ面積的最小值為16．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，考查韋達定理、向量數(shù)量積運算、兩點間距離公式、點到直線的距離公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．