Question

19．如圖，在幾何體S-ABCD中，AB⊥平面SBC，CD⊥平面SBC，SB⊥SC，AB=SB=SC=2CD=2，G是線段BS的中點．
（1）求GD與平面SCD所成角的正弦值；
（2）求平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出CD⊥SB，SB⊥SC，從而∠GDS為所求線面角，由此能求出GD與平面SCD所成角的正弦值．
（Ⅱ）在平面SBC內(nèi)，過點B作BQ∥CS，以B為原點，分別以射線BQ，BS，BA為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵CD⊥平面SBC，∴CD⊥SB，…（1分）
∵SB⊥SC，且SC與CD交于C點，
∴SB⊥平面SDC，∵G為SB上一點，
∴∠GDS為所求線面角．…（3分）
∵$DS=\sqrt{5}$，GS=1，$DG=\sqrt{6}$，…（4分）
∴$sin∠GDS=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
∴GD與平面SCD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（6分）
（Ⅱ）如圖，在平面SBC內(nèi)，過點B作BQ∥CS，
∵BS⊥SC，∴BQ⊥BS，
又∵AB⊥平面SBC，∴AB⊥BS，AB⊥BQ，
以B為原點，分別以射線BQ，BS，BA為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則A（0，0，2），B（0，0，0），S（0，2，0），D（2，2，1）．…（7分）
∵AB⊥平面SBC，∴$\overrightarrow{BA}=（0，\;\;0，\;\;2）$為平面SBC的法向量，…（8分）
設(shè)$\overrightarrow n=（x，\;\;y，\;\;z）$為平面SAD的法向量．
又$\overrightarrow{AS}=（0，\;\;2，\;\;-2）$，$\overrightarrow{AD}=（2，\;\;2，\;\;-1）$，
可得$\overrightarrow n=（-1，\;\;2，\;\;2）$，…（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BA}|}$=$\frac{2}{3}$，
∴平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值為$\frac{2}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．