Question

已知方程x⁴-2x²-1=a，x∈[-1，2]有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：方法一利用數(shù)形結(jié)合法，分別畫(huà)出y=x⁴-2x²，和y=a+1的圖象，根據(jù)圖象的交點(diǎn)得到a的取值范圍，
方法二，構(gòu)造函數(shù)f（x）=f（x）=x⁴-2x²，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，根據(jù)函數(shù)圖象的單調(diào)性得到a的范圍

解答： 解：∵x⁴-2x²-1=a，
∴x⁴-2x²=a+1，
分別畫(huà)出y=x⁴-2x²，和y=a+1的圖象，如圖所示，
∵x∈[-1，2]有3個(gè)不同的根，
∴y=x⁴-2x²，和y=a+1的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
∴-1＜a+1＜0，
解得-2＜a＜-1，
方法二，令函數(shù)f（x）=x⁴-2x²，
∴f′（x）=4x³-4x=4x（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，解得x=0，或x=-1，或x=1，
列表如圖所示

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	極小值	+	極大值	-	極小值	+
f（x）	減	-1	增	0	減	-1	增

故x⁴-2x²-1=a，x∈[-1，2]有3個(gè)不同的根，則f（x）=x⁴-2x²，和f（x）=a+1的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
∴-1＜a+1＜0，
解得-2＜a＜-1，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系，以及方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合時(shí)關(guān)鍵，屬于中檔題