Question

9．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E為A₁C的中點
（Ⅰ）求證：D₁E∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求證：BC⊥A₁C；
（Ⅲ）若A₁A=AB，求二面角A₁-AC-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取A₁B₁中點F，連結(jié)D₁F，EF，B₁C，由中位線定理，得EF∥CB₁，從而得到四邊形D₁C₁B₁F為平行四邊形，進而平面D₁EF∥平面BB₁C₁C，由此能證明D₁E∥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）以A為坐標原點，直線AB、AA₁分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BC⊥A₁C．
（Ⅲ）求出平面A₁AC的法向量和平面AB₁C的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-AC-B₁的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取A₁B₁中點F，連結(jié)D₁F，EF，B₁C，
∵EF是△A₁CB₁的中位線，∴EF∥CB₁，
∵AB∥DC，∴A₁B₁∥D₁C₁，
又∵AB=2，AD=1，∠ABC=60°，∴D₁C₁=1，
∴D₁C₁=FB₁，∴四邊形D₁C₁B₁F為平行四邊形，∴D₁F∥C₁B₁，
又∵EF∩D₁F=F，CB₁∩C₁B₁=B₁，
∴平面D₁EF∥平面BB₁C₁C，
又∵D₁E?平面D₁EF，∴D₁E∥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）以A為坐標原點，直線AB、AA₁分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)AA₁=a，則B（0，2，0），C（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），A₁（0，0，a），
$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，0$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，-a$），
∵$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{{A}_{1}C}$=$\frac{3}{4}-\frac{3}{4}+0=0$，
∴BC⊥A₁C．
解：（Ⅲ）∵A₁A=AB=2，
∴A（0，0，0），B₁（0，2，2），C（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}$，0），A₁（0，0，2），
∴$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，2，2），
設(shè)$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z）是平面A₁AC的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
設(shè)$\overrightarrow{{n}_{2}}$是平面AB₁C的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{3}{2}b=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=2b+2c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\sqrt{3}，-1，1$），
設(shè)二面角A₁-AC-B₁的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{|-3-1|}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角A₁-AC-B₁的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．