Question

14．如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方形OABC-O₁A₁B₁C₁中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF．
（Ⅰ）求證：A₁F⊥C₁E；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B₁-EFB的體積取得最大值時(shí)，求二面角B-B₁E-F的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以B為原點(diǎn)，BA、BC、BB₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，利用向量法能證明A₁F⊥C₁E．
（Ⅱ）V_B1-EFB=$\frac{1}{3}$S_△BEF•BB₁=$\frac{a}{6}$m（a-m）≤$\frac{a3}{24}$，當(dāng)m=$\frac{a}{2}$時(shí)，V_B1-EFB取最大值，求出平面B₁EF的一個(gè)法向量和平面BB₁E的一個(gè)法向量，由此能求出二面角B-B₁E-F的正切值．

解答 證明：（Ⅰ）如圖，以B為原點(diǎn)，BA、BC、BB₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz
設(shè)AE=BF=m （0≤m≤a），則E（0，a-m，0），
C₁（a，0，a），A₁（0，a，a），
F（m，0，0），…（2分）
∴$\overrightarrow{A1F}$=（m，-a，-a），
$\overrightarrow{C1E}$=（-a，a-m，-a），…（4分）
∴$\overrightarrow{A1F}$•$\overrightarrow{C1E}$=-am-a²+am+a²=0，
∴A₁F⊥C₁E．…（6分）
解：（Ⅱ）∵BB₁⊥平面EFB，∴V_B1-EFB=$\frac{1}{3}$S_△BEF•BB₁=$\frac{a}{6}$m（a-m）≤$\frac{a3}{24}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m=$\frac{a}{2}$時(shí)，V_B1-EFB取最大值．…（8分）
此時(shí)，E（0，$\frac{a}{2}$，0），F(xiàn)（$\frac{a}{2}$，0，0），B₁（0，0，a）
$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（0，$\frac{a}{2}$，-a），$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（$\frac{a}{2}$，0，-a）
設(shè)平面B₁EF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}E}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}F}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}y-az=0\\ \frac{a}{2}x-az=0\end{array}$
令x=2，則y=2，z=1，得$\overrightarrow{m}$=（2，2，1），
取平面BB₁E的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$…（10分）
二面角B-B₁E-F的正切值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．