Question

6．如圖，已知△ABC的等腰直角三角形，CA=1，點P是△ABC內(nèi)一點，過點P分別引三邊的平行線，與各邊圍成以P為頂點的三個三角形（圖中陰影部分）．當(dāng)點P在△ABC內(nèi)運(yùn)動時，以P為頂點的三個三角形面積的最小值為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 以C為原點，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，再設(shè)過點P且平行于直線AB的直線方程為x+y=a，（0＜a＜1），設(shè)點P（m，a-m），從而表示出邊長進(jìn)而表示出面積，從而利用二次函數(shù)求最小值即可．

解答 解：如圖，以C為原點，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則C（0，0），A（1，0），B（0，1）；
設(shè)過點P且平行于直線AB的直線方程為x+y=a，（0＜a＜1）
設(shè)點P（m，a-m），
則MP=HM=m，PD=ED=a-m，GP=PF=1-a；
故S=$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$（a-m）²+$\frac{1}{2}$（1-a）²
=（m-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{3}{4}$a²-a+$\frac{1}{2}$
≥$\frac{3}{4}$a²-a+$\frac{1}{2}$
=$\frac{3}{4}$（a-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{1}{6}$≥$\frac{1}{6}$；
（當(dāng)a=$\frac{2}{3}$，m=$\frac{1}{3}$時，等號成立）
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．