Question

7．已知遞增的等差數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的前三項(xiàng)之和為18，前三項(xiàng)之積為120．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若點(diǎn)A₁（a₁，b₁），A₂（a₂，b₂），…，A_n（a_n，b_n）（n∈N^*）從左至右依次都在函數(shù)y=3${\;}^{\frac{x}{2}}$的圖象上，求這n個(gè)點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n的縱坐標(biāo)之和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)前三項(xiàng)之和、前三項(xiàng)之積可得公差及首項(xiàng)，根據(jù)公式計(jì)算即可；
（Ⅱ）根據(jù)題意及（I），可得$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=9，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求首項(xiàng)為3、公比為9的等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵前三項(xiàng)之和為18，∴a₂=6，a₁=6-d，a₃=6+d，
又∵前三項(xiàng)之積為120，∴（6-d）×6×（6+d）=120，
解得d=4或-4（舍），
∴a₁=6-4=2，
∴a_n=4n-2；
（Ⅱ）根據(jù)題意及（I），可得b_n=3^2n-1，
∴求這n個(gè)點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n的縱坐標(biāo)之和即為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，
∵$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=9，b₁=3^2×1-1=3，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為3、公比為9的等比數(shù)列，
∴T_n=$\frac{3（1-{9}^{n}）}{1-9}$=$\frac{3}{8}$（9ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，求通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．