Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\sqrt{3}$sinx•cosx，則f（x）的最小正周期是π，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$）（k∈Z）．

Answer 1

分析 化簡可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），由周期公式易得周期，解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$可得單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：化簡可得f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\sqrt{3}$sinx•cosx
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$可解得kπ-$\frac{π}{3}$＜x＜kπ+$\frac{π}{6}$，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$）（k∈Z），
故答案為：π；（kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$）（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．