Question

6．如圖，四棱錐C-ABED中，AC=4，BC=3，四邊形ABED是邊長(zhǎng)為$\sqrt{13}$的正方形，若G，F(xiàn)分別是線段EC，BD的中點(diǎn)．
（1）求證：GF∥底面ABC；
（2）若點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，求三角形GFP的面積．

Answer 1

分析 （1）證明GF平行于平面ABC內(nèi)的一條直線AC即可；
（2）利用中位線定理，求出△PFG的三邊長(zhǎng)，再由余弦定理求出其中一角，即可求三角形的面積．

解答 解：（1）證明：如圖所示，連接AE，
由題意知，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，
GF為△AEC的中位線，
∴GF∥AC；
又∵AC?平面ABC，
∴GF∥平面ABC；
（2）連接PG，PF
由（1）知：GF=$\frac{1}{2}$AC=2，
同理可得：PF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
PG=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{13}}{2}$；
∴cos∠PFG=$\frac{{PF}^{2}{+GF}^{2}{-PG}^{2}}{2PF•GF}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠PFG=$\frac{π}{3}$；
∴S_△PFG=$\frac{1}{2}$PF•GF•sin∠PFG
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與平面平行的判斷問(wèn)題，也考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．