Question

11．已知log₃（x+y+4）＞log₃（3x+y-2），若x-y＜λ恒成立，則λ的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，10]
• B． （-∞，10）
• C． （10，+∞）
• D． [10，+∞）

Answer 1

分析 要使不等式成立，則有$\left\{\begin{array}{l}x+y+4＞0\\ 3x+y-2＞0\\ x+y+4＞3x+y-2\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+y+4＞0\\ 3x+y-2＞0\\ x＜3\end{array}\right.$，設(shè)z=x-y，則y=x-z．作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示的陰影部分（不包括左右邊界），通過平移直線（目標(biāo)函數(shù)）利用線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)即可得出．

解答 解：要使不等式成立，則有$\left\{\begin{array}{l}x+y+4＞0\\ 3x+y-2＞0\\ x+y+4＞3x+y-2\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+y+4＞0\\ 3x+y-2＞0\\ x＜3\end{array}\right.$，
設(shè)z=x-y，則y=x-z．作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示的陰影部分（不包括左右邊界）：
平移直線y=x-z，由圖象可知當(dāng)直線y=x-z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線在y軸上的截距最小，此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}x+y+4=0\\ x=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}y=-7\\ x=3\end{array}\right.$，代入z=x-y得z=x-y=3+7=10，
又因?yàn)榭尚杏虿话�括點(diǎn)B，∴z＜10，
∴要使x-y＜λ恒成立，則λ的取值范圍是λ≥10，即[10，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)、不等式的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、計(jì)算能力，屬于中檔題．