Question

3．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）點P是BD的中點．求證：C₁P∥平面AB₁D₁；
（2）若點Q是BD上的一個動點，C₁Q與平面AB₁D₁ 是否平行？為什么？

Answer 1

分析 （1）連結A₁C₁，B₁D₁，交于點O，由已知條件推導出四邊形APC₁O是平行四邊形，由此能證明C₁P∥平面AB₁D₁．
（2）由已知條件推導出平面BDC₁∥平面AB₁D₁，由此得到C₁Q∥平面AB₁D₁．

解答 （1）證明：連結A₁C₁，B₁D₁，交于點O，則O是A₁C₁中點，連結A₁O，AP，
∵點P是BD的中點，∴點P是AC中點，
∴AP$\underset{∥}{=}$OC₁，∴四邊形APC₁O是平行四邊形，
∴AO∥C₁P，
∵OA?平面AB₁D₁，C₁P?平面AB₁D₁，
∴C₁P∥平面AB₁D₁．
（2）解：C₁Q∥平面AB₁D₁．
∵AO∥C₁P，B₁D₁∥BD，
AO∩B₁D₁=O，C₁P∩BD=P，
AO?平面AB₁D₁，B₁D₁?平面AB₁D₁，C₁P?平面BDC₁，BD?平面BDC₁，
∴平面BDC₁∥平面AB₁D₁，
∵點Q是BD上的一個動點，∴C₁Q?平面BDC₁，
∴C₁Q∥平面AB₁D₁．

點評 本題考查線面平行的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．