Question

16．半徑為1的球內(nèi)最大圓柱的體積為（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{6}}{9}$π
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$π
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$π
• D． $\frac{4\sqrt{3}}{9}$π

Answer 1

分析 設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則有（$\frac{h}{2}$）²+r²=1²，表示出體積，利用導(dǎo)數(shù)的方法，即可求出球內(nèi)最大圓柱的體積．

解答 解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則有（$\frac{h}{2}$）²+r²=1²，
所以圓柱的體積為V=πr²h=π（1-$\frac{{h}^{2}}{4}$）h=π（-$\frac{{h}^{3}}{4}$+h），
而V'=π（-$\frac{3}{4}$h²+1），知當(dāng)h=$\frac{2}{\sqrt{3}}$時(shí)，V取最大值π（-$\frac{{h}^{3}}{4}$+h）=π[-$\frac{1}{4}$（$\frac{2}{\sqrt{3}}$）³+$\frac{2}{\sqrt{3}}$]=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$π．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球內(nèi)最大圓柱的體積，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．