Question

15．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，側(cè)面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F(xiàn)為SD的中點(diǎn)．
（1）證明：SB∥平面FAC；
（2）求三棱錐S-FAC的體積．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于點(diǎn)E，連接EF，由中位線定理可得EF∥SB，故而SB∥平面FAC；
（2）取AB的中點(diǎn)O，連接SO，則利用面面垂直的性質(zhì)得出SO⊥平面ABCD，即SO為棱錐的高，求出三棱錐S-ACD和三棱錐F-ACD的體積，則V_S-FAC=V_S-ACD-V_F-ACD．

解答 （1）證明：連接BD交AC于點(diǎn)E，連接EF
∵四邊形ABCD是菱形，
∴E是BD的中點(diǎn)，又F是SD的中點(diǎn)，
∴EF∥SB，
又EF?平面FAC，SB?平面FAC，
∴SB∥平面FAC．
（2）解：取AB的中點(diǎn)O，連接SO，
∵SA=SB=AB=2，∴SO=$\sqrt{3}$，SO⊥AB，
∵側(cè)面SAB⊥底面ABCD，側(cè)面SAB∩底面ABCD=AB，SO⊥AB，SO?平面SAB，
∴SO⊥平面ABCD，
∵${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}\;•\;2\;•\;2sin120°=\sqrt{3}$，
∴V_S-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•SO$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．
∵F是SD的中點(diǎn)，
∴V_F-ACD=$\frac{1}{2}$V_S-ACD=$\frac{1}{2}$．
∴V_S-FAC=V_S-ACD-V_F-ACD=1-$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．