Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；
（2）在（1）的條件下，求直線PC與平面ABE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標原點建立空間直角坐標系，求出各點坐標得出$\overrightarrow{BE}$和$\overrightarrow{PD}$的坐標，通過計算$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PD}$=0得出BE⊥PD；
（2）由（1）可知$\overrightarrow{PD}$為平面ABE的一個法向量，求出$\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{PD}$的夾角＜$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PD}$＞，則直線PC與平面ABE所成角為$\frac{π}{2}$-＜$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PD}$＞．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA為PD與底面ABCD所成的角，即∠PDA=30°，
∴PA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$，AE=a，∠DAE=60°，
以A為坐標原點建立空間直角坐標系A-xyz如圖所示：
則A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，2a，0），E（0，$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$），P（0，0，$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$）．
∴$\overrightarrow{BE}$=（-a，$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，2a，-$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$）．
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PD}$=-a×0+$\frac{a}{2}$×2a+$\frac{\sqrt{3}a}{2}$×（-$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$）=0．
∴BE⊥PD．
（2）∵PD⊥BE，PD⊥AE，AE?平面ABE，BE?平面ABE，AE∩BE=E，
∴PD⊥平面ABE，∴$\overrightarrow{PD}$為平面ABE的一個法向量．
∵$\overrightarrow{PC}$=（a，a，-$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$），∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=$\frac{10{a}^{2}}{3}$，|$\overrightarrow{PC}$|=$\frac{\sqrt{30}a}{3}$，|$\overrightarrow{PD}$|=$\frac{4\sqrt{3}a}{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PD}$＞=$\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴直線PC與平面ABE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴直線PC與平面ABE所成角的余弦值為$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查了空間向量在立體幾何中的應用，屬于中檔題．