Question

4．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E為AB的中點．
（1）求證：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直線PC與平面PDE所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）點C為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CP}$的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積得出DE⊥AC，DE⊥CP，故而DE⊥平面PAC，于是平面PDE⊥平面PAC；
（II）求出平面PDE的法向量$\overrightarrow{n}$，計算$\overrightarrow{n}$與$\overrightarrow{PC}$的夾角，則直線PC與平面PDE所成的角的正弦值等于|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PC}$＞|．

解答 解：（I）以點C為坐標(biāo)原點，以直線CD，CB，CP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz
則C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0）．
∴$\overrightarrow{DE}=（{-1，2，0}）$，$\overrightarrow{CA}=（{2，1，0}）$，$\overrightarrow{CP}=（{0，0，2}）$，
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CA}=（{-1，2，0}）•（{2，1，0}）=0$，$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CP}=（{-1，2，0}）•（{0，0，2}）=0$，
∴DE⊥CA，DE⊥CP，
又CP∩CA=C，AC?平面PAC，CP?平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，∵DE?平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PAC．
（Ⅱ）$\overrightarrow{DE}=（{-1，2，0}），\overrightarrow{PE}=（{1，2，-2}）$，
設(shè)$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$是平面PDE的一個法向量，則$\overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=\overrightarrow n•\overrightarrow{PE}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{x+2y-2z=0}\end{array}\right.$，
令x=2，則y=1，z=2，即$\overrightarrow n=（{2，1，2}）$，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}$=4，|$\overrightarrow{n}$|=3，|$\overrightarrow{CP}$|=2，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CP}|}$=$\frac{2}{3}$．
∴直線PC與平面PDE所成的角的正弦值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，線面角的計算，空間向量在幾何證明中的應(yīng)用，屬于中檔題．