Question

19．已知函數(shù)f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)$x∈[\frac{5π}{24}，\frac{11π}{24}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）當(dāng)x∈（-$\frac{9π}{8}$，-$\frac{7π}{8}$）時(shí)，設(shè)經(jīng)過函數(shù)f（x）圖象上任意不同兩點(diǎn)的直線的斜率為k，試判斷k值的符號(hào)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=-$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+2，利用周期公式即可求得函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）由$x∈[\frac{5π}{24}，\frac{11π}{24}]$，可得$\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{2π}{3}$，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求$sin（2x-\frac{π}{4}）∈[\frac{1}{2}，1]$，從而可得函數(shù)f（x）的值域；
（3）由$x∈（-\frac{9π}{8}，-\frac{7π}{8}）$，可得$-\frac{5}{2}π＜2x-\frac{π}{4}＜-2π$，由正弦函數(shù)的圖象可知f（x）在$（-\frac{9π}{8}，-\frac{7π}{8}）$上是減函數(shù)，可得經(jīng)過任意兩點(diǎn)（x₁，f（x₁））和（x₂，f（x₂））的直線的斜率k=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0．

解答 （本題滿分為15分）
解：f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x=cos2x-sin2x+2=-$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+2，
（或$f（x）=\sqrt{2}cos（2x+\frac{π}{4}）+2$）；…（4分）
（1）T=π； …（6分）
（2）∵$x∈[\frac{5π}{24}，\frac{11π}{24}]$時(shí)，∴$\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{2π}{3}$，則$sin（2x-\frac{π}{4}）∈[\frac{1}{2}，1]$
∴f（x）的值域?yàn)?[2-\sqrt{2}，2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$…（10分）
（3）k值的符號(hào)為負(fù)號(hào)；
∵$x∈（-\frac{9π}{8}，-\frac{7π}{8}）$，∴$-\frac{5}{2}π＜2x-\frac{π}{4}＜-2π$，
∴f（x）在$（-\frac{9π}{8}，-\frac{7π}{8}）$上是減函數(shù)．…（12分）
∴當(dāng)${x_1}，{x_2}∈（-\frac{9π}{8}，-\frac{7π}{8}）$，且x₁＜x₂時(shí)，都有f（x₁）＞f（x₂），
從而經(jīng)過任意兩點(diǎn)（x₁，f（x₁））和（x₂，f（x₂））的直線的斜率k=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0． …（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，直線的斜率公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．