Question

9．在△ABC中，BC=6，若G，O分別為△ABC的重心和外心，且$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{BC}$=6，則△ABC的形狀是（　　）

• A． 銳角三角形
• B． 鈍角三角形
• C． 直角三角形
• D． 上述三種情況都有可能

Answer 1

分析 在△ABC中，G，O分別為△ABC的重心和外心，取BC的中點為D，連接AD、OD、GD，運用重心和外心的性質(zhì)，運用向量的三角形法則和中點的向量形式，以及向量的平方即為模的平方，可得 $\overrightarrow{AC}$²-${\overrightarrow{AB}}^{2}$=-36，又BC=6，則有|${\overrightarrow{AB}}^{2}$|=|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²，運用勾股定理逆定理即可判斷三角形的形狀．

解答 解：在△ABC中，G，O分別為△ABC的重心和外心，
取BC的中點為D，連接AD、OD、GD，如圖：
則OD⊥BC，GD=$\frac{1}{3}$AD，
∵$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$，$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
由$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{BC}$=6，
則（$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$）$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DG}•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）$•\overrightarrow{BC}$=6，
即-$\frac{1}{6}$•（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=6，則${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}=-36$，
又BC=6，
則有|${\overrightarrow{AB}}^{2}$|=|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²，
即有C為直角．
則三角形ABC為直角三角形．
故選：C．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運用，主要考查向量的三角形法則和向量的平方即為模的平方，運用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀．