Question

2011年六月康菲公司由于機(jī)器故障，引起嚴(yán)重的石油泄漏，造成了海洋的巨大污染，某沿海漁場(chǎng)也受到污染．為降低污染，漁場(chǎng)迅速切斷與海水聯(lián)系，并決定在漁場(chǎng)中投放一種可與石油發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）個(gè)單位的藥劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似于y=af（x），其中f（x）=

16 8-x -1(0≤x≤4) 5- 1 2 x(4＜x≤10)

，若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)實(shí)驗(yàn)，當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起到有效治污的作用．稱為有效凈化；當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）時(shí)稱為最佳凈化．
（Ⅰ）若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天？
（Ⅱ）若第一次投放2個(gè)單位的藥劑，6天后再投放a個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效治污，試問a的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：

2

取1.4）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由a=4，得y=a•f（x），即y=

64 8-x -4(0≤x≤4) 20-2x(4＜x≤10)

；令y≥4，解得x的取值范圍．
（Ⅱ）要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效治污，即當(dāng)6≤x≤10時(shí)，y=2×（5-

1

2

x）+a[

16

8-(x-6)

-1]=（14-x）+

16a

14-x

-a-4≥4恒成立，求y的最小值，令其≥4，解出a的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閍=4，所以y=

64 8-x -4(0≤x≤4) 20-2x(4＜x≤10)

；
則當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由

64

8-x

-4≥4，解得x≥0，所以此時(shí)0≤x≤4，
當(dāng)4＜x≤10時(shí)，由20-2x≥4，解得x≤8，所以此時(shí)4＜x≤8；
綜合，得0≤x≤8，若一次投放4個(gè)單位的制劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)8天．
（Ⅱ）當(dāng)6≤x≤10時(shí)，y=2×（5-

1

2

x）+a[

16

8-(x-6)

-1]=（14-x）+

16a

14-x

-a-4，
因?yàn)椋?4-x∈[4，8]，而1≤a≤4，
所以，4

a

∈[4，8]，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)14-x=4

a

時(shí)，y有最小值為8

a

-a-4；
令8

a

-a-4≥4，解得24-16

2

≤a≤4，所以a的最小值為1.6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．