Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，若存在x₀∈B，x₀∉A則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A． 0≤b≤4
• B． b≤0或 b≥4
• C． 0≤b＜4
• D． b＜0或b≥4

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件容易求出c=0，并判斷出f（x）有非零實(shí)根，從而解f（x）=0即可得到A={0，-b}．而由f（f（x））=0得到x（x+b）（x²+bx+b）=0，顯然0，-b是方程的實(shí)根，從而判斷出方程x²+bx+b=0有實(shí)根，并且實(shí)根為$\frac{-b±\sqrt{^{2}-4b}}{2}$，從而得到△≥0并b≠0，這樣解不等式即得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：由題意可得，A是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)構(gòu)成的集合；
由f（f（x））=0，可得（x²+bx+c）²+b（x²+bx+c）+c=0，把x²+bx+c=0代入，解得c=0；
∴f（x）=x²+bx；
存在x₀∈B，x₀∉A；
∴f（f（x₀））=0，而f（x₀）≠0；
∴x₀≠0；
∴說明f（x）=0有非零實(shí)根；
∴解f（x）=0得x=0，或-b，b≠0；
∴A={0，-b}；
f（f（x））=（x²+bx）²+b（x²+bx）=x（x+b）（x²+bx+b）；
∵存在x₀∈B，x₀≠A；
∴方程x²+bx+b=0有解；
∴△=b²-4b≥0；
又b≠0；
∴解得b＜0，或b≥4；
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為{b|b＜0或b≥4 }．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查描述法表示集合，知道集合A表示函數(shù)f（x）的零點(diǎn)組成的集合，提取公因式解高次方程的方法，一元二次方程有無解和判別式△取值的關(guān)系．