Question

2．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，若a，b均為不等于1的正實數(shù)，則a＞b是$f（\frac{1}{{{{log}_a}2}}）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）＞0$成立的（　　）

• A． 充分而不必要條件
• B． 必要而不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，從而判斷出$f（\frac{1}{{{{log}_a}2}}）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）＞0$成立的充要條件，進而得到答案．

解答 解：由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
若$f（\frac{1}{{{{log}_a}2}}）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）＞0$，
則f（${log}_{2}^{a}$）＞-f（-${log}_{2}^$）=f（${log}_{2}^$），
則${log}_{2}^{a}$＞${log}_{2}^$，
則a＞b，
故選：C．

點評 本題考查了充分必要條件，考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性，本題是一道基礎(chǔ)題．