Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$|=1，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0，若對每一確定的$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{c}$|的最大值和最小值分別為m、n，則對任意a，m-n的值（　�。�

• A． 隨|$\overrightarrow{a}$|增大而增大
• B． 隨|$\overrightarrow{a}$|增大而減小
• C． 是2
• D． 是1

Answer 1

分析 假設(shè)$\overrightarrow{a}$=（0，0）、$\overrightarrow$=（0，1）、$\overrightarrow{c}$=（x y），則由條件可得x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，故滿足條件的向量$\overrightarrow{c}$的終點在以（0，$\frac{1}{2}$）為圓心，半徑等于$\frac{1}{2}$的圓上，可得|$\overrightarrow{c}$|的最大值m與最小值n的值，即可求得m-n．

解答 解：假設(shè)$\overrightarrow{a}$=（0，0）、$\overrightarrow$=（0，1）、$\overrightarrow{c}$=（x y），則
∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0，
∴（x，y）•（x，y-1）=x²+y²-y=0，
即x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，故滿足條件的向量$\overrightarrow{c}$的終點在以（0，$\frac{1}{2}$）為圓心，半徑等于$\frac{1}{2}$的圓上，
故|$\overrightarrow{c}$|的最大值與最小值分別為m=1，n=0，故m-n=1，
故選D．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，利用特殊值代入法，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題．