Question

18．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x-1）的圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱，f（4）=4，求f（2014）．

Answer 1

分析 由f（x+6）+f（x）=2f（3），可得函數(shù)的周期為12，由y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，可得函數(shù)為奇函數(shù)，由此可求結(jié)論．

解答 解：由f（x+6）+f（x）=2f（3）…①，
令x=-3，得f（3）=f（-3），于是f（3）=f（-3）=0，
用x+6替換x得：則f（x+12）+f（x+6）=2f（3）…②，
兩式相減，得f（x+12）=f（x），
即函數(shù)的周期為12，
由y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，知f（x-1）+f（1-x）=0，故f（x）是奇函數(shù)．
∵f（4）=4，
令x=-2，則f（4）+f（-2）=0，
于是f（2014）=f（2014-12×167）=f（10）=f（-2）=-4

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．