Question

10．已知a，b都是不等于0的常數(shù)，變量θ滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{asinθ+bcosθ≥0}\\{acosθ-bsinθ≥0}\end{array}\right.$，試求sinθ的最大值．

Answer 1

分析 把約束條件變形，得到$\left\{\begin{array}{l}{sin（θ+φ）≥0}\\{cos（θ+φ）≥0}\end{array}\right.$，由此求得θ的范圍，然后分a＞0，b＞0；a＞0，b＜0；a＜0，b＞0；a＜0，b＜0四種情況討論，利用sinθ的單調(diào)性求其最大值．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{asinθ+bcosθ≥0}\\{acosθ-bsinθ≥0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{sin（θ+φ）≥0}\\{cos（θ+φ）≥0}\end{array}\right.$，其中tanφ=$\frac{a}$，
∴2kπ≤θ+φ≤2kπ+$\frac{π}{2}$，故2kπ-φ≤θ≤2kπ+$\frac{π}{2}$-φ．
（1）當a＞0，b＞0時，φ為銳角，而sinθ在[2kπ-φ，2kπ+$\frac{π}{2}$-φ]上為增函數(shù)，
因此（sinθ）_max=sin（2kπ+$\frac{π}{2}$-φ）=cosφ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$；
（2）當a＞0，b＜0時，同理得$-\frac{π}{2}＜$φ＜0，${（sinθ）}_{max}=sin\frac{π}{2}=1$；
（3）當a＜0，b＞0時，$\frac{π}{2}＜$φ＜π．
若-a＞b，則sin（2kπ-φ）=-sinφ=-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$＞sin（2kπ+$\frac{π}{2}$-φ）=cosφ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
故$（sinθ）_{max}=sin（2kπ-φ）=-\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$；
同理若-a≤b，則（sinθ）_max=sin（2kπ+$\frac{π}{2}$-φ）=cosφ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$；
（4）當a＜0，b＜0時，-π＜φ＜$-\frac{π}{2}$，
由sinθ在[2kπ-φ，2kπ+$\frac{π}{2}$-φ]上為減函數(shù)，有（sinθ）_max=sin（2kπ-φ）=-sinφ=-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，考查了由正弦函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值，是有一定難度題目．