Question

4．△ABC是邊長為1的等邊三角形，已知向量$\vec a$，$\vec b$滿足$\overrightarrow{{A}{B}}=\vec a+\vec b$，$\overrightarrow{{A}C}=\vec a-\vec b$，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）

• A． $|{\vec a}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $|{\vec b}|=\frac{1}{2}$
• C． $（{\vec a+\vec b}）•\vec a=-\frac{1}{4}$
• D． $\vec a⊥\vec b$

Answer 1

分析 可作圖，取BC邊的中點(diǎn)D，并連接AD，從而可以得出$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow$，從而有$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，這樣即可求出$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow|$和$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}$的值，從而便可找出錯(cuò)誤的結(jié)論．

解答 解：A．如圖，設(shè)邊BC的中點(diǎn)為D，則：

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{AD}$，$|\overrightarrow{AD}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$|\overrightarrow{a}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴該選項(xiàng)正確；
B．∵$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow b=\overrightarrow{CB，}|{\overrightarrow{CB}}|=1$，∴$|{\overrightarrow b}|=\frac{1}{2}$，∴該選項(xiàng)正確；
C.$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=1•\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．AD⊥BC，由前面$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}⊥（2\overrightarrow）$，即$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，∴該選項(xiàng)正確．
故選：C．

點(diǎn)評 考查向量加法的平行四邊形法則，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及數(shù)量積的計(jì)算公式，余弦函數(shù)的定義，向量數(shù)乘的幾何意義，向量垂直的概念．