Question

15．若x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{x-y≤0}\\{x+y-4≤0}\end{array}}\right.$則$\frac{x+2y}{2x+y}$的取值范圍為[1，$\frac{7}{5}$]．

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，利用表達(dá)式的幾何意義，求解即可．

解答 解：x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{x-y＜0}\\{x+y-4≤0}\end{array}}\right.$的可行域如圖：
則$\frac{x+2y}{2x+y}$=$\frac{x+\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}y}{2x+y}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4\frac{x}{y}+2}$．
由可行域可知：$\frac{y}{x}$∈[1，k_OA]，由$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，可得A（1，3），
k_OA=3，
$\frac{4x}{y}$∈$[\frac{4}{3}，4]$，$\frac{4x}{y}$+2∈$[\frac{10}{3}，6]$，
$\frac{3}{4\frac{x}{y}+2}$∈$[\frac{1}{2}，\frac{9}{10}]$，
則$\frac{x+2y}{2x+y}$∈[1，$\frac{7}{5}$]．
故答案為：[1，$\frac{7}{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的值域，一般分兩步進(jìn)行：1、根據(jù)不等式組，作出不等式組表示的平面區(qū)域；2、由目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)及幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為圖形之間的關(guān)系問題求解．