Question

10．“k=1”是“函數(shù)$f（x）=\frac{{k-{e^x}}}{{1+k{e^x}}}$（k為常數(shù)）在定義域上是奇函數(shù)”的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 函數(shù)$f（x）=\frac{{k-{e^x}}}{{1+k{e^x}}}$（k為常數(shù)）在定義域上是奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0，化為：k²=1，解出即可判斷出結(jié)論．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\frac{{k-{e^x}}}{{1+k{e^x}}}$（k為常數(shù)）在定義域上是奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0，
∴$\frac{k-{e}^{-x}}{1+k{e}^{-x}}$+$\frac{k-{e}^{x}}{1+k{e}^{x}}$=0，
化為：k²（e^x+e^-x）=e^x+e^-x，
∴k²=1，
解得k=±1，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，此時(shí)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
∴“k=1”是“函數(shù)$f（x）=\frac{{k-{e^x}}}{{1+k{e^x}}}$（k為常數(shù)）在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．