Question

已知a=（sin2x，2cos²x-1），b=（sinθ，cosθ）（0＜θ＜π），函數(shù)f（x）=a•b的圖象經過點（

π

6

，1）．
（Ⅰ）求θ及f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[-

π

6

，

π

4

]時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用向量數(shù)量積的坐標運算易求f（x）=cos（2x-θ），從而可求f（x）的最小正周期；又y=f（x）的圖象經過點（

π

6

，1），0＜θ＜π，可求得θ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=cos（2x-

π

3

），-

π

6

≤x≤

π

4

⇒-

2π

3

≤2x-

π

3

≤

π

6

，利用余弦函數(shù)的單調性可求得f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

•

b

=sin2xsinθ+cos2xcosθ=cos（2x-θ），
∴f（x）的最小正周期為T=π，
∵y=f（x）的圖象經過點（

π

6

，1），
∴cos（

π

3

-θ）=1，
又0＜θ＜π，
∴θ=

π

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=cos（2x-

π

3

），
∵-

π

6

≤x≤

π

4

，
∴-

2π

3

≤2x-

π

3

≤

π

6

，
當2x-

π

3

=0，即x=

π

6

時，f（x）取得最大值1；
2x-

π

3

=-

2π

3

，即x=-

π

6

時，f（x）取得最小值-

1

2

．

點評：本題考查向量數(shù)量積的坐標運算，突出考查三角函數(shù)的周期性及其求法及余弦函數(shù)的單調性與最值，屬于中檔題．