Question

已知空間向量，，，O為坐標原點，給出以下結論：①以OA、OB為鄰邊的平行四邊形OACB中，當且僅當k=2時，取得最小值；②當k=2時，到A和點B等距離的動點P（x，y，z）的軌跡方程為4x-2y-5=0，其軌跡是一條直線；③若，則三棱錐O-ABP體積的最大值為；④若=（0，0，1），則三棱錐O-ABP各個面都為直角三角形的概率為．其中，所有正確結論的應是    ．

Answer 1

【答案】分析：對于①，利用向量加法的平行四邊形法則得出的坐標，從而求出²=16+（k+1）²，當且僅當k=-1時，取得最小值；故①錯；對于②，當k=2時，到A和點B等距離的動點P（x，y，z）的軌跡方程為線段AB的中垂面，其軌跡是一個平面；故②錯；③若，要使得三棱錐O-ABP體積的最大，只須S_△OAB最大即可，下面求出其最大值即可．④若=（0，0，1），則三棱錐O-ABP各個面都為直角三角形，只須在三角形OAB中，∠OAB為直角即可，再探討在什么情況下其是直角結合概率公式計算即得．
解答：解：=+=（1，k，0）+（3，1，0）=（4，k+1，0），
∴²=16+（k+1）²，當且僅當k=-1時，取得最小值；故①錯；
對于②，當k=2時，到A和點B等距離的動點P（x，y，z）的軌跡方程為線段AB的中垂面，其軌跡是一個平面；故②錯；
③若，要使得三棱錐O-ABP體積的最大，
由于三棱錐O-ABP體積=×||×S_△OAB=S_△OAB，
故只須S_△OAB最大即可，
在xOy平面內(nèi)考慮，此時A（1，2），cos∠AOB===，∴∠AOB=45°．
S_△OAB最大=×||×||sin∠AOB=××sin45°=．故錯；
④若=（0，0，1），則要使得三棱錐O-ABP各個面都為直角三角形，
只須在三角形OAB中，∠OAB為直角即可，
如圖，由于點A只能在M，N，S，P，Q五點取得，有5種取法，
而使得∠OAB為直角的點是M，Q，有2種取法，
則三棱錐O-ABP各個面都為直角三角形的概為．正確．
其中，所有正確結論的應是④．
故答案為：④．
點評：本小題主要考查命題的真假判斷與應用、三棱錐的幾何特征、向量的數(shù)量積等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．