8.設(shè)函數(shù)f(x)=-x2-ax+1,g(x)=ax2+x+a.
(1)若f(x)在[1,2]上的最大值為4,求a的值;
(2)若存在x1∈[1,2],使任意的x2∈[1,2],都有f(x1)≥g(x2),求a的取值范圍.

分析 (1)求出對(duì)稱軸方程,討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,運(yùn)用單調(diào)性,可得最大值,解方程可得a;
(2)若存在x1∈[1,2],使得對(duì)任意的x2∈[1,2],都有f(x1)≥g(x2),即為f(x1max≥g(x2max,分別求得f(x),g(x)在[1,2]上的最大值,注意對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,最后求并集即可.

解答 解:(1)f(x)=-x2-ax+1的對(duì)稱軸為x=-$\frac{a}{2}$,
當(dāng)-$\frac{a}{2}$≤1,可得a≥-2時(shí),f(x)在[1,2]遞減,即有
f(1)=4,即為-a=4,解得a=-4,不成立;
當(dāng)1<-$\frac{a}{2}$<2,即-4<a<-2時(shí),f($-\frac{a}{2}$)=$\frac{{a}^{2}}{4}+1$=4,解得a=$-2\sqrt{3}$或a=$2\sqrt{3}$(舍);
當(dāng)-$\frac{a}{2}$≥2,即a≤-4時(shí),[1,2]遞增,即有f(2)=4,
即-3-2a=4,解得a=-$\frac{7}{2}$,不成立.
綜上可得,a=-$2\sqrt{3}$;
(2)若存在x1∈[1,2],使得對(duì)任意的x2∈[1,2],都有f(x1)≥g(x2),
即為f(x1max≥g(x2max,
①當(dāng)-$\frac{a}{2}$≤1,可得a≥-2時(shí),f(x)在[1,2]遞減,即有
f(1)取得最大值-a,-a≥ax2+x+a,
即為a≤$\frac{-x}{2+{x}^{2}}$=$\frac{-1}{x+\frac{2}{x}}$在[1,2]恒成立,
由x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2}$,當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$∈[1,2]時(shí),等號(hào)成立.
即有a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$,則為-2≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$;
②當(dāng)1<-$\frac{a}{2}$<2,即-4<a<-2時(shí),f(x)取得最大值f(-$\frac{a}{2}$)=1+$\frac{{a}^{2}}{4}$,
即有1+$\frac{{a}^{2}}{4}$≥ax2+x+a,
當(dāng)-4<a<-2時(shí),g(x)在[1,2]遞減,g(1)取得最大值,且為2a+1,
1+$\frac{{a}^{2}}{4}$≥1+2a,解得a≥8或a≤0,則有-4<a<-2;
③當(dāng)-$\frac{a}{2}$≥2,即a≤-4時(shí),[1,2]遞增,即有f(2)取得最大值-3-2a,
即有-3-2a≥ax2+x+a,當(dāng)a≤-4時(shí),g(x)在[1,2]遞減,g(1)取得最大值,且為2a+1,
-3-2a≥1+2a,解得a≤-1,則有a≤-4.
綜上可得,a的范圍為a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的最值的求法,注意運(yùn)用分類討論的思想方法,同時(shí)考查不等式恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.

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