Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂+a₄=6，a₆=S₃．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若k∈N^*，且a_k，a_3k，S_2k成等比數(shù)列，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，列出關(guān)于a₁和d的方程組，解出a₁和d，即可得到所求通項(xiàng)；
（Ⅱ）由等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，可得9k²=k•k（2k+1），解出k．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意可得：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d+{a}_{1}+3d=6}\\{{a}_{1}+5d=3{a}_{1}+3d}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$．
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=1+n-1=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${S}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$，
∵a_k，a_3k，S_2k成等比數(shù)列．
∴${{a}_{3k}}^{2}={a}_{k}•{S}_{2k}$，
∴9k²=k•k（2k+1），
解得k=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及求和公式，以及等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．