Question

4．如圖，已知PA是圓O的一條的切線，PB是圓經(jīng)過圓心O的割線，N為PB與圓O的另一交點．
（1）過點A作PB的垂線AC，交PB于點M，交圓O于點C，連接BC，過點M作AB的平行線分別交BC于D，交PA于E，求證：DM=DB；
（2）若圓O的半徑為3，NM=$\frac{1}{2}$MB，求PN．

Answer 1

分析 （1）運用兩直線平行的性質(zhì)定理和圓的垂徑定理，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，即可得證；
（2）連接AO，由圓的切線的性質(zhì)和直角三角形的射影定理，結(jié)合圓的切割線定理，解方程可得所求．

解答 解：（1）證明：∵ED∥AB，∴∠PME=∠PBA，
∵割線經(jīng)過圓心O，PB⊥AC，∴∠PBC=∠PBA，
∴∠PME=∠PBC，
又∵∠PME=∠BMD，∴∠BMD=∠MBD，
∴在△BMD中，DM=DB．
（2）連接AO，則OA⊥PA．
∵$NM=\frac{1}{2}MB$，∴MB+NM=3NM=6，∴NM=2，MO=1．
在Rt△BAN中，由（1）知，MA⊥NB，
∴$M{A^2}=MB•MN=4×2=8，MA=2\sqrt{2}$．
不妨設(shè)PA=m，PN=n．
則PA²=m²=PN•PB=PN（PN+NB）=n（n+6）=n²+6n①
在Rt△PAM中，PA²=m²=PM²+MA²=（PN+NM）²+8=n²+4n+12②
聯(lián)立①②得，PN=n=6．

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)和切割線定理，以及垂徑定理的運用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．